sommes de nombres entiers.
Progressions arithmétiques et géométriques

Sommes de nombres entiers

Les sommes de nombres entiers s’expriment par des formules simples que nous rappelons ci-dessous (les démonstrations peuvent être faites aussi par récurrence).

· Somme S_n des n premiers nombres entiers :

S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + … + (n – 1) + n.

S_n = n ( n+ 1 ) / 2

On calcule en fait la somme S_{n – 1,2} des n – 1 premiers carrés. On a évidemment :

(n – 1)^2	=	n^2	– 2 n x 1	+ 1
(n – 2)^2	=	n^2	– 2 n x 2	+ 2^2
(n – 3)^2	=	n^2	– 2 n x 3	+ 3^2
	^………….	^………….
(n – [n – 1])^2	=	n^2	– 2 n x (n – 1)	+ (n – 1)^2

On a une suite de n – 1 égalités. On a donc :

Sn – 1,2	=	(n – 1) n^2 – 2 n Sn – 1 + Sn – 1,2
2 n Sn – 1	=	(n – 1) n^2
Sn – 1	=	(n – 1) n /2

et enfin, en remplaçant n – 1 par n :

Sn

=

n (n + 1) /2

· Somme S_n,2 des carrés des n premiers nombres entiers :

S_n,2 = 1² + 2² + 3² + 4² + … + (n – 1)² + n²

S_n,2 = n (n+1) (2n + 1) / 6

Le calcul peut être mené comme précédemment en exprimant la somme des n + 1 premiers cubes :

1^3			=						1^3
2^3	=	(1+1)^3	=	1^3	+	3 x 1^2 x 1+	3 x 1 x 1^2	+	1^3
n^3	=	[(n – 1)+1]^3	=	(n – 1)^3	+	3 x (n – 1)^2 x 1	+ 3 x (n – 1) x 1^2	+	1^3
(n+1)^3			=	n^3	+	3 x n^2 x 1	+ 3 x n x 1^2	+	1^3

La somme des membres de gauche donne la somme des n + 1 premiers cubes S_n+1,3 :

S_n+1,3 = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + (n – 1)³ + n³ + (n+1)³ = S_n,3 + (n+1)³

et la somme des membres de droite est égale à

S_n,3 + 3 S_n,2 + 3 S_n + n + 1

Le calcul donne :

S_n,2 = n (n+1) (2n + 1) / 6.

· Somme S_n,3 des cubes des n premiers nombres entiers :

Nous admettons le résultat ci-dessous, que l’on peut démontrer par récurrence :

S_n,3 = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + … + (n – 1)³ + n³.

S_n = [ n ( n + 1 ) / 2 ] ²

Progressions

On appelle progression une suite finie de n nombres x₁, x₃, …, x_n se déduisant les uns des autres toujours de la même façon. Il existe deux types classiques de progression :

· la progression arithmétique, définie de la façon suivante :

x₁, x₂ = x₁ + r , x₃= x₂ + r , x₄= x₃ + r , …x_n= x_{n – 1} + r

Chaque terme est égal à la somme du précédent et d’une constante r appelée raison.

somme des termes d’une progression arithmétique :

x1= x1	=	x1
x2= x1 + r	=	x1 + r
…
xn – 1= xn – 2 + r	=	x1 + (n – 2) r
xn= xn – 1 + r	=	x1 + (n – 1) r

D’où la somme :

S	=	x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn – 1 + xn
	=	n x x1 + [1 + 2 + 3 + 4 + … + (n – 1)] x r

Nous savons que la somme des n premiers nombres entiers est égale à n (n + 1 ) /2 (cf. ci-dessus).

La somme des n – 1 premiers nombres entiers est donc (n – 1) n / 2 et on en déduit :

				(n – 1) x n x r
S	=	n x x1	+	––––––––
				2

Remarque : la somme d’une progression arithmétique de premier terme x₁ et de dernier terme x_n s’exprime aussi en fonction de x₁ et x_n. On a en effet, en supposant n pair et égal à 2 k :

x₁ + x_n = x₂ + x_{n – 1} = x₃ + x_{n – 2} = …. = x_k + x_k+1

D’où :

S	=	x1 + x2 + x3 + x4 + … + xk + xk+1+ … + xn – 3 + xn – 2 + xn – 1 + xn
	=	(x1 + xn) + (x2 + xn – 1) + (x3 + xn – 2) + (x4 + xn – 3) + … + (xk + xk+1)
	=	k x (x1 + xn)
	=	n x (x1 + xn) / 2

Lorsque le nombre de termes n est impair, on applique la formule précédente aux n – 1 premiers termes :

Sn – 1	=	x1 + x2 + x3 + x4 + … + xk + xk+1+ … + xn – 3 + xn – 2 + xn – 1
	=	(n – 1) x (x1 + xn – 1) / 2

On ajoute x_n, et on remplace x_{n – 1} par x_n – r :

S	=	( n – 1) x (x1 + xn – r) / 2 + xn
S	=	( n – 1) x (x1 + xn – r) + 2 xn)	/ 2
S	=	( n x1 + n xn – n r – x1 – xn + r + 2 xn)	/ 2
S	=	( n x1 + n xn + xn – x1 – (n – 1) r	/ 2

On sait que :

xn=	x1 + (n – 1) r

On en déduit que, quel que soit n :

S

=

n ( x1 + xn )

/ 2

· la progression géométrique, définie de la façon suivante :

x₁, x₂ = q x₁ , x₃ = q x x₂, …, x_{n – 1}= q x x_{n – 2}, x_n= q x x_{n – 1}

Chaque terme est égal au produit du précédent par une constante q appelée raison.

somme des termes d’une progression géométrique :

x1	=		=	x1
x2	=	q x x1	=	q x x1
x3	=	q x x2	=	q^2 x x1
…
xn – 1	=	q x xn – 2	=	q^n – 2 x x1
xn	=	q x xn – 1	=	q^n – 1 x x1

D’où la somme :

S	=	x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn – 1 + xn
	=	x1 + q x (x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn – 1 + xn – 1)

La somme du second membre entre les parenthèses est égale à S – x_n. On a donc :

S

=

x1 + q x (S – xn) = x1 + q x S – q x xn

On en déduit :

S x (1 – q)

=

x1 – q x xn

=

x1 x ( 1 – q^n)

Soit :

		x1 x (1 – q^n)
S	=	––––––––––
		(1 – q)